Hoy se cumplen 100 años desde que Albert Einstein presentara en la Academia de Ciencias Prusiana la versión 1.0 de su Teoría de la Relatividad General. En Cuadernos de Física queremos celebrarlo y por ello, vamos a publicar varias entradas sobre Albert Einstein y su Teoría de la Relatividad. Esta es, quizás, la teoría física más conocida de todas. Al menos, lo es su nombre que ha aparecido hasta en canciones (recordad esa de "Un burdo rumor" del gran Javier Krahe). No ocurre lo mismo con el contenido de la teoría. Pero seguro que eso será historia en cuanto leáis algunas de las entradas que se están escribiendo para celebrar este cumpleaños.
Albert Einstein ha sido, posiblemente, el científico más famoso del siglo XX. Otro día hablaremos de su vida. Mientras tanto, si queréis un aperitivo de la misma, podéis escuchar una reseña de su biografía realizada por @mreyeszam en una colaboración en el programa "La Fábrica de la Ciencia" (en la entrada Colaboración en La Fábrica de la Ciencia ) o, también, la intervención en el platito del día del programa 154 de La Buhardilla 2.0.
Hoy nos vamos a centrar en la Teoría de la Relatividad Especial. ¿Hay dos Teorías de la Relatividad? No, no hay dos teorías de la Relatividad,
más bien, la Teoría de la Relatividad consta de dos
partes. La primera se conoce como Teoría de la Relatividad Especial
y fue publicada por Albert Einstein en un artículo aparecido en la
revista Annalen der Physik en
el año 1905. Diez años después, en 1915, Einstein presentó la
segunda parte de su teoría, la Teoría de la Relatividad General que
extiende los resultados de la Teoría de la Relatividad Especial para
incluir los efectos de los campos gravitatorios.
Pero, vayamos por partes, lo primero es responder a la pregunta:
¿Cómo estaba la Física antes de que Einstein enunciara la Teoría de la Relatividad Especial (TRE)?
Pero, vayamos por partes, lo primero es responder a la pregunta:
¿Cómo estaba la Física antes de que Einstein enunciara la Teoría de la Relatividad Especial (TRE)?
A
finales del siglo XIX la Física era una ciencia que parecía tener
unos cimientos sólidos: la Mecánica había sido establecida por
Isaac Newton en sus Principia hacía más de 200 años,
durante todo el siglo XIX se habían desarrollado sólidamente las
bases de la Termodinámica y el electromagnetismo estaba
descrito por las ecuaciones que James Clerk Maxwell había publicado
en 1873 en su “Tratado sobre electricidad y magnetismo” y que
también había unificado electricidad, magnetismo y óptica.
Existían,
sin embargo, una serie de discrepancias entre los físicos acerca de
algunos aspectos de estas teorías. Uno de ellos era la existencia de
un medio que llenase todo el espacio y en el que tenía lugar la
acción a distancia debida a la propagación, no solo de la luz, sino
del calor o de los fenómenos eléctricos. Este medio era el éter que ya mencionaba Homero en su Iliada en fragmentos como:
"así el brillo de las armaduras de bronce de aquellos que iban a combatir, por el éter al cielo llegaba"
El propio Maxwell poco
antes de su muerte, en 1879, planteaba que los efectos del éter debían
ser prácticamente inapreciables en la Tierra.
En
1881, Albert Abraham Michelson publicó un artículo en el que,
utilizando un aparato de su invención (el interferómetro de
Michelson), comparaba el tiempo que tardaba la luz en recorrer una
distancia dada en una dirección paralela al movimiento de la Tierra con el tiempo que tardaba en recorrer la misma distancia en una
dirección perpendicular al movimiento de la Tierra. Si existía el
éter, estos tiempos debían ser distintos. La conclusión de
Michelson fue que no había evidencia de la existencia del éter. Sin
embargo, este resultado no tuvo, en principio, mucha repercusión
debido a que Lorentz había encontrado un fallo en la teoría del
experimento y dudaba de la interpretación de los resultados de
Michelson. Esto hizo que Michelson repitiese el experimento en 1887
con la ayuda de Edward Williams Morley. Construyeron un
interferómetro mejor y repitieron las medidas pero resultado fue el
mismo: no había evidencia de la existencia del éter. Aunque esto
suponía una desilusión importante, ninguno de los principales
científicos de la época puso en duda los resultados obtenidos por
Michelson y Morley.
Durante
esos años aparecieron diversas teorías sobre el electromagnetismo,
todas basadas en la de Maxwell pero con distintas versiones del éter.
Cabe mencionar que algunos científicos de la época encontraron
algunos resultados que después Einstein obtendría en su Teoría de
la Relatividad Especial, pero que no llegaron a plantearse siquiera
que esos resultados constituyesen una nueva teoría. Entre estos
científicos destacamos a Woldemar Voight, que en 1887 obtuvo que, con un cambio de coordenadas que hoy conocemos como transformación
de Lorentz, la ecuación de ondas permanecía inalterada al pasar de un
sistema de referencia a otro. También a George Francis Fitzgerald,
quien en 1889 propuso para explicar el resultado negativo del
experimento de Michelson-Morley que la longitud de los cuerpos debía
cambiar según se moviesen en dirección paralela o perpendicular al
éter en una cantidad dependiente de (v/c)2. En 1892,
Lorentz cuantificó esta dependencia en una expresión que hoy
conocemos como Contracción de Lorentz-Fitzgerald y tres años
después, en 1895, demostró que usando lo que hoy conocemos como
Transformaciones de Lorentz, el estado electromagnético de un
sistema se describía igual en cualquier sistema de referencia, aunque esto lo veía simplemente como una herramienta matemática para demostrar
que los resultados de los experimentos ópticos realizados en la
Tierra eran independientes del movimiento de la misma. En 1898, Henri
Poincaré puso en duda el concepto de simultaneidad de dos sucesos y
en 1904 habló de un “tiempo local” e indicó que tal vez sería necesario elaborar una nueva mecánica en la que la velocidad de la
luz constituyera un límite inalcanzable.
En
este punto, aparece Einstein proponiendo una nueva cinemática. Como
él mismo indica en su artículo “Sobre la electrodinámica de los
cuerpos en movimiento”, al aplicar la teoría de Maxwell a cuerpos
en movimiento aparecen asimetrías que no son inherentes a dicho
movimiento. Esto unido a los infructuosos intentos de descubrir
cualquier movimiento de la Tierra relativo al éter (el medio de la
luz lo llama él) indicaba que ni los fenómenos electromagnéticos ni
los mecánicos soportaban la idea de reposo absoluto, sino que sugerían que las leyes del electromagnetismo y la óptica eran válidas para
todos los sistemas de referencia en los que las ecuaciones de la
Mecánica se verificasen.
Einstein
eleva esta sugerencia de la experiencia a postulado y lo denomina
Principio de Relatividad. Introduce otro postulado que dice que la
luz se propaga en el vació siempre con una velocidad c
que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor.
En palabras del propio Einstein:
En palabras del propio Einstein:
"Estos
dos postulados bastan para obtener una teoría simple y consistente
de la electrodinámica de los cuerpos en movimiento basada en la
teoría de Maxwell para cuerpos estacionarios"
y añade:
"Probaremos
que la introducción de un éter luminífero es superflua"
Einstein esperaba que su nueva teoría llamase la atención de la comunidad científica tras ser publicada, que recibiera críticas y que se encontrara con una fuerte oposición. Sin embargo, esto no fue así. En los números siguientes de la revista dónde se publicó el artículo (Annalen der Physik) no se hizo mención alguna a la TRE. Pasaron unos meses hasta que Einstein recibió una carta de Max Planck en la que le pedía que le aclarase algunos puntos de su teoría que no comprendía bien. En el invierno de 1905-06 Planck expuso la TRE en una reunión de Física en Berlin a la que asistió uno de los ayudantes de Planck: von Laue, otro de los científicos que ayudo a que la TRE fuese conocida. A lo largo de 1906, Einstein recibió la visita de von Laue y de otros jóvenes físicos que querían, o bien tratar sobre la TRE o trabajar con él. En 1907, Minkowski introdujo la formulación de la relatividad usando un espacio de cuatro dimensiones lo que supuso una simplificación matemática de la teoría. Una de las verificaciones experimentales de la TRE vino del estudio del movimiento de cuerpos cargados eléctricamente (se había observado que una esfera cargada poseía una energía cinética que no correspondía con el valor $\frac{1}{2}mv^2$).
Kaufman realizó a principios del siglo XX (en 1901) experimentos para determinar la relación energía-velocidad en los electrones (recién descubiertos). Estos experimentos consistían en el estudio de la desviación de haces de electrones por campos eléctricos y magnéticos. Max Abraham obtuvo una expresión teórica que explicaba los resultados y, según la cual, el electrón sería una esfera rígida y su masa tendría un origen electromagnético. Lorentz, en 1904, indicó que el electrón debía estar sometido a la contracción de Fitzgerald-Lorentz y obtuvo una nueva expresión matemática para la relación energía-velocidad de los electrones. Después de que apareciese la TRE, Kaufmann repitió sus experimentos y llegó a la conclusión de que los resultados obtenidos eran incompatibles con la TRE y que la expresión de Abraham los explicaba mejor. Esto produjo gran decepción entre los partidarios de la TRE, entre ellos, Planck, Lorentz y Poincare. Einstein, sin embargo, opinaba que aunque los resultados experimentales se ajustasen mejor a las expresiones de Abraham, la teoría de éste tenía pocas probabilidades de ser cierta. Al parecer, Kaufman habría sobreestimado la precisión de sus medidas y en 1908, Bucherer obtuvo resultados que estaban de acuerdo con $E=mc^2$. Resultado que se obtuvo también por otros experimentadores y que, junto con el estudio de la estructura fina del espectro de hidrógeno en la década de 1910, conducirían a una completa confirmación de las previsiones de la TRE. Posteriores experimentos terminarían por confirmar la TRE. Otros resultados experimentales también fueron explicados por la teoría, como puede ser la aberración estelar o la ausencia de resultados en el experimento de Michelson-Morley.
Por ahora, dejamos la historia. Vamos a hablar de Física, que de eso va este blog.
Dilatación temporal y Contracción de la longitud.
A este tiempo que mide el observador que vé el fenómeno en reposo lo llamamos Tiempo propio.
Imaginemos ahora que una persona que se está moviendo respecto a nosotros con una velocidad $V$ observa cómo lanzamos la pelota. Esta persona no verá que la pelota "sube" y "baja" en vertical, sino que describe una trayectoria recta, pero oblicua.
La distancia recorrida por la pelota hasta llegar al techo no será $l_0$ sino otra distinta, a la que llamaremos $d$. Si llamamos $\Delta t_{en movimiento}$ al tiempo que tarda la pelota en "subir" y "bajar" para esta persona, se cumplirá la siguiente relación entre $d$ y $l_0$.
$$ d^2 = l_0^2 + \left( \frac{V \Delta t_{en movimiento}}{2} \right) ^2 $$
Lo único que hemos hecho es aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo ABC de la figura. Para la persona, la pelota no se mueve con velocidad $v_1$, sino que llevará una velocidad distinta $v_2$, de manera que la distancia recorrida en el tiempo $\Delta t_{en movimiento}$ será
$$ v_2 \Delta t_{en movimiento} = 2 d$$
Despejando $d$ y sustituyendo en la expresión que habíamos obtenido antes nos queda:
$$ \left( \frac{v_2 \Delta t_{en movimiento}}{2} \right) ^2 = l_0^2 + \left( \frac{V \Delta t_{en movimiento}}{2} \right)^2 $$
Si ahora tenemos en cuenta que $l_0 = \frac{v_1 \Delta t_{en reposo}}{2}$ y sustituimos:
$$ \left( \frac{v_2 \Delta t_{en movimiento}}{2} \right) ^2 = \left( \frac{v_1 \Delta t_{en reposo}}{2} \right)^2 + \left( \frac{V \Delta t_{en movimiento}}{2} \right)^2 $$
Reorganizando llegamos a que: $$ \Delta t_{en movimiento}^2 = \frac{v_1^2}{v_2^2- V^2} \Delta t_{en reposo}^2$$ que puede escribirse como:
$$ \Delta t_{en movimiento}^2 = \frac{v_1^2}{ v_2^2 \left(1-\frac{V^2}{v_2^2}\right)} \Delta t_{en reposo}^2 $$
El mismo razonamiento puede hacerse con un rayo de luz en lugar de con una pelota y llegaríamos al mismo resultado, aunque ahora $v_1$ sería la velocidad de la luz para el primer observador y $v_2$ sería la velocidad de la luz para la persona que vé el movimiento.
Einstein esperaba que su nueva teoría llamase la atención de la comunidad científica tras ser publicada, que recibiera críticas y que se encontrara con una fuerte oposición. Sin embargo, esto no fue así. En los números siguientes de la revista dónde se publicó el artículo (Annalen der Physik) no se hizo mención alguna a la TRE. Pasaron unos meses hasta que Einstein recibió una carta de Max Planck en la que le pedía que le aclarase algunos puntos de su teoría que no comprendía bien. En el invierno de 1905-06 Planck expuso la TRE en una reunión de Física en Berlin a la que asistió uno de los ayudantes de Planck: von Laue, otro de los científicos que ayudo a que la TRE fuese conocida. A lo largo de 1906, Einstein recibió la visita de von Laue y de otros jóvenes físicos que querían, o bien tratar sobre la TRE o trabajar con él. En 1907, Minkowski introdujo la formulación de la relatividad usando un espacio de cuatro dimensiones lo que supuso una simplificación matemática de la teoría. Una de las verificaciones experimentales de la TRE vino del estudio del movimiento de cuerpos cargados eléctricamente (se había observado que una esfera cargada poseía una energía cinética que no correspondía con el valor $\frac{1}{2}mv^2$).
Kaufman realizó a principios del siglo XX (en 1901) experimentos para determinar la relación energía-velocidad en los electrones (recién descubiertos). Estos experimentos consistían en el estudio de la desviación de haces de electrones por campos eléctricos y magnéticos. Max Abraham obtuvo una expresión teórica que explicaba los resultados y, según la cual, el electrón sería una esfera rígida y su masa tendría un origen electromagnético. Lorentz, en 1904, indicó que el electrón debía estar sometido a la contracción de Fitzgerald-Lorentz y obtuvo una nueva expresión matemática para la relación energía-velocidad de los electrones. Después de que apareciese la TRE, Kaufmann repitió sus experimentos y llegó a la conclusión de que los resultados obtenidos eran incompatibles con la TRE y que la expresión de Abraham los explicaba mejor. Esto produjo gran decepción entre los partidarios de la TRE, entre ellos, Planck, Lorentz y Poincare. Einstein, sin embargo, opinaba que aunque los resultados experimentales se ajustasen mejor a las expresiones de Abraham, la teoría de éste tenía pocas probabilidades de ser cierta. Al parecer, Kaufman habría sobreestimado la precisión de sus medidas y en 1908, Bucherer obtuvo resultados que estaban de acuerdo con $E=mc^2$. Resultado que se obtuvo también por otros experimentadores y que, junto con el estudio de la estructura fina del espectro de hidrógeno en la década de 1910, conducirían a una completa confirmación de las previsiones de la TRE. Posteriores experimentos terminarían por confirmar la TRE. Otros resultados experimentales también fueron explicados por la teoría, como puede ser la aberración estelar o la ausencia de resultados en el experimento de Michelson-Morley.
Por ahora, dejamos la historia. Vamos a hablar de Física, que de eso va este blog.
Dilatación temporal y Contracción de la longitud.
Una consecuencia directa de los dos postulados de la TRE es que tanto
las longitudes de los cuerpos como el concepto de simultaneidad dejan
de ser absolutos y pasan a depender del sistema de referencia desde
el que se observen los fenómenos.
Así, los intervalos de tiempo medidos en dos sistemas de referencia distintos no tienen porque ser iguales. De hecho, si
estudiamos un proceso físico desde un sistema de referencia en
movimiento siempre mediremos un intervalo de tiempo mayor que en un
sistema de referencia en el que el proceso tiene lugar en reposo. Es
lo que conocemos como dilatación del tiempo.
De igual manera, al determinar la longitud de un objeto en un sistema
de referencia que se mueve, obtendremos un valor menor que en un
sistema de referencia en el que el objeto se encuentra en reposo.
Este efecto se conoce como contracción de la longitud.
Hoy vamos a explicar con detalle la dilatación del tiempo y, para otra ocasión, (otro aniversario o algo así), haremos lo mismo con la contracción de la longitud.
Supongamos que estamos en una zona en la que no hay gravedad y que lanzamos verticalmente una pelota hacia el techo situado a una altura $l_0$. La pelota se moverá con velocidad constante $v_1$ hasta que llegue al techo, rebotará y volverá a nuestras manos.
El tiempo que tarda la pelota en "subir" y "bajar", $\Delta t_{en reposo}$ será igual al doble de la altura del techo dividido entre la velocidad:
$$ 2 l_0 = v_1 \Delta t_{en reposo} \longrightarrow \Delta t_{en reposo} = \frac{ 2 l_0}{v_1} $$
Hoy vamos a explicar con detalle la dilatación del tiempo y, para otra ocasión, (otro aniversario o algo así), haremos lo mismo con la contracción de la longitud.
Supongamos que estamos en una zona en la que no hay gravedad y que lanzamos verticalmente una pelota hacia el techo situado a una altura $l_0$. La pelota se moverá con velocidad constante $v_1$ hasta que llegue al techo, rebotará y volverá a nuestras manos.
Imaginemos ahora que una persona que se está moviendo respecto a nosotros con una velocidad $V$ observa cómo lanzamos la pelota. Esta persona no verá que la pelota "sube" y "baja" en vertical, sino que describe una trayectoria recta, pero oblicua.
$$ d^2 = l_0^2 + \left( \frac{V \Delta t_{en movimiento}}{2} \right) ^2 $$
Lo único que hemos hecho es aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo ABC de la figura. Para la persona, la pelota no se mueve con velocidad $v_1$, sino que llevará una velocidad distinta $v_2$, de manera que la distancia recorrida en el tiempo $\Delta t_{en movimiento}$ será
$$ v_2 \Delta t_{en movimiento} = 2 d$$
Despejando $d$ y sustituyendo en la expresión que habíamos obtenido antes nos queda:
$$ \left( \frac{v_2 \Delta t_{en movimiento}}{2} \right) ^2 = l_0^2 + \left( \frac{V \Delta t_{en movimiento}}{2} \right)^2 $$
Si ahora tenemos en cuenta que $l_0 = \frac{v_1 \Delta t_{en reposo}}{2}$ y sustituimos:
$$ \left( \frac{v_2 \Delta t_{en movimiento}}{2} \right) ^2 = \left( \frac{v_1 \Delta t_{en reposo}}{2} \right)^2 + \left( \frac{V \Delta t_{en movimiento}}{2} \right)^2 $$
Reorganizando llegamos a que: $$ \Delta t_{en movimiento}^2 = \frac{v_1^2}{v_2^2- V^2} \Delta t_{en reposo}^2$$ que puede escribirse como:
El mismo razonamiento puede hacerse con un rayo de luz en lugar de con una pelota y llegaríamos al mismo resultado, aunque ahora $v_1$ sería la velocidad de la luz para el primer observador y $v_2$ sería la velocidad de la luz para la persona que vé el movimiento.
 |
| Observador en Reposo |
 |
| Observador en Movimiento |
Ahora bien, Einstein nos dice que esa velocidad es la misma, es decir que $v_1=v_2=c$, por lo que al sustituir en la fórmula que habíamos obtenido:
$$ \Delta t_{en movimiento}^2 = \frac{c^2}{ c^2 \left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)} \Delta t_{en reposo}^2 $$ Nos queda: $$ \Delta t_{en movimiento}^2 = \frac{1}{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)} \Delta t_{en reposo}^2 $$
o lo que es igual:
$$ \Delta t_{en movimiento} = \frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)}} \Delta t_{en reposo} $$ De manera que, como $V \lt c$, se tiene que $\Delta t_{en movimiento}$ es mayor que $\Delta t_{en reposo}$.
Puede parecer sorprendente, pero si nos fijamos en las figuras de más arriba, la distancia recorrida por la luz no es la misma. De hecho, es mayor en el caso del observador en movimiento. Si suponemos que la velocidad de la luz es la misma para los dos observadores, evidentemente, para el observador que recorra más distancia, el tiempo debe ser mayor.
¿Cómo nos afecta esto en nuestra vida diaria? Envejeceremos más rápidamente si nos movemos en lugar de quedarnos quietos. Tranquilos, no hay que preocuparse demasiado. Como $c$ es muy grande ($c \approx 3\times 10^8 $m/s, y nosotros nos movemos muy despacito, apenas nos afecta. Por ejemplo, para una persona que camina normalmente a unos 6 km/h (10 minutos para hacer 1 km), necesitaría estar caminando a esa velocidad unos 1000 millones de años para que su tiempo fuese 1 segundo mayor que el de una persona en reposo. Incluso la persona más rápida del mundo, Usain Bolt, debería estar corriendo a la velocidad con la que batió el record durante 100 millones de años para ver 1 segundo más que los que están en reposo. Hasta Fernando Alonso, a 250 km/h, debería estar a esa velocidad 1 millón de años para que su tiempo fuese 1 segundo mayor que el de los espectadores de la carrera.
Así que, las culpas de esas arrugas que os están saliendo no son de la relatividad.
¡Feliz aniversario de la Relatividad General! y ¡Hasta la próxima!
$$ \Delta t_{en movimiento}^2 = \frac{c^2}{ c^2 \left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)} \Delta t_{en reposo}^2 $$ Nos queda: $$ \Delta t_{en movimiento}^2 = \frac{1}{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)} \Delta t_{en reposo}^2 $$
o lo que es igual:
$$ \Delta t_{en movimiento} = \frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)}} \Delta t_{en reposo} $$ De manera que, como $V \lt c$, se tiene que $\Delta t_{en movimiento}$ es mayor que $\Delta t_{en reposo}$.
Puede parecer sorprendente, pero si nos fijamos en las figuras de más arriba, la distancia recorrida por la luz no es la misma. De hecho, es mayor en el caso del observador en movimiento. Si suponemos que la velocidad de la luz es la misma para los dos observadores, evidentemente, para el observador que recorra más distancia, el tiempo debe ser mayor.
¿Cómo nos afecta esto en nuestra vida diaria? Envejeceremos más rápidamente si nos movemos en lugar de quedarnos quietos. Tranquilos, no hay que preocuparse demasiado. Como $c$ es muy grande ($c \approx 3\times 10^8 $m/s, y nosotros nos movemos muy despacito, apenas nos afecta. Por ejemplo, para una persona que camina normalmente a unos 6 km/h (10 minutos para hacer 1 km), necesitaría estar caminando a esa velocidad unos 1000 millones de años para que su tiempo fuese 1 segundo mayor que el de una persona en reposo. Incluso la persona más rápida del mundo, Usain Bolt, debería estar corriendo a la velocidad con la que batió el record durante 100 millones de años para ver 1 segundo más que los que están en reposo. Hasta Fernando Alonso, a 250 km/h, debería estar a esa velocidad 1 millón de años para que su tiempo fuese 1 segundo mayor que el de los espectadores de la carrera.
Así que, las culpas de esas arrugas que os están saliendo no son de la relatividad.
¡Feliz aniversario de la Relatividad General! y ¡Hasta la próxima!
