Una Física, tres problemas.

Si estáis leyendo esto es porque os gusta la Física. O sois amigos y cansados de que os de la lata con que escribo en un par de blogs, por fin, os habéis animado a leerme. Bienvenidos a todos.

En esta entrada vamos a hablar de física y, a la vez, de una historia personal. Así que empezaremos contando una batallita.

Yo empecé la carrera porque me encantaban las Matemáticas y la Física pero, como tenía que decidirme por una sola opción, escogí Física porque así mataba dos pájaros de un tiro. Casi la mitad de la licenciatura de Física eran asignaturas de Matemáticas. Y me gustaba todo desde el principio: Mecánica, Análisis, Termo, Estadística... 
Cuando llegó tercero estaba expectante, como el resto de alumnos, por ver qué cosas extraordinarias nos enseñaban en una asignatura, hasta ese momento desconocida y, por tanto, misteriosa, llamada Física Cuántica. Y la cuántica me gustó mucho aunque también me produjo algún que otro dolor de cabeza. 
Sin embargo, no fue en esa clase donde me llevé la mayor sorpresa ese curso sino en una asignatura llamada Métodos Matemáticos (II). Sí, en una clase de mates, que en principio no parecía nada especial, aprendí y disfruté de la Física con mayúsculas. Supongo que el profesor que la impartía tuvo mucho que ver. 

El primer día de clase nos contó que en Física solamente tenían solución exacta tres problemas:



- la partícula libre,

- el oscilador armónico 

- y el átomo de hidrógeno. 

Nos dejó a todos con la boca abierta. A algunos se les cayó la Física del pedestal donde la tenían aupada. Nos preguntábamos cómo podía ser que la "ciencia de las ciencias" solo resolviera exactamente tres problemas.

-¿En serio? ¿Tres problemas? Y, ¿qué pasa con el resto?

Pues el resto son solo aproximaciones, algunas muy buenas, pero no son soluciones exactas al problema que sea, son solo aproximadas. 

Ya sabemos que las matemáticas son el lenguaje de la Física. Pero un lenguaje tiene muchos idiomas distintos y ese día pensé que estábamos usando uno equivocado que servía para entendernos en algunos campos, pero no en todos, y que necesitábamos un traductor que interpretara lo que teníamos a otro idioma adecuado. Ha pasado mucho tiempo y todavía lo pienso. 

Pero no vamos a hablar de lenguajes en esta entrada sino de esos tres problemas que sabemos resolver exactamente. Empecemos por el más simple.


LA PARTÍCULA LIBRE


Una partícula libre es aquella que no está sujeta a interacción alguna. Es decir, está completamente aislada. Para entendernos, no siente nada de nada. Está la pobre en soledad. 

Y esto es lo que se llama un problema ideal. Si buscamos en el diccionario leeremos que ideal significa que no existe sino en el pensamiento. 
-Parece que vamos de mal en peor. Solo podemos resolver exactamente tres problemas y resulta que el primero ¡ni siquiera es un problema real! 
Pues sí, pero resolver este problema nos sirve porque hay muchas partículas en el universo que están lo suficientemente alejadas de otras como para que se pueda considerar despreciable su interacción mutua o partículas cuyas interacciones con otras se cancelan dando una interacción total nula. 
-Entonces, ¡seguimos!
Nuestra partícula libre es una partícula puntual y, por tanto, sin dimensiones, que se mueve sin que sobre ella se ejerza absolutamente ninguna fuerza. 
Lo que queremos saber es qué ecuación describe su movimiento. Para llegar hasta ahí partiremos de la Segunda Ley de Newton. Como vimos en la entrada ¿Tienes un momento? dicha ley se escribe:

$$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

Como sobre la partícula no se ejerce ninguna fuerza tenemos que $\vec{F}=0$
y entonces, si integramos obtenemos que $\vec{p}=m\vec{v}=\textrm{cte}$. Suponiendo que la masa de la partícula es constante, nos quedaría que  $\vec{v}=\textrm{cte}$
Por otra parte, si tenemos nociones elementales de cinemática sabremos que la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo:

$$ \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}$$

Puesto que para nuestra partícula libre la velocidad tiene que ser constante, tenemos:

$$\frac{d\vec{r}}{dt}=\textrm{cte}$$

Ya solo queda integrar esta expresión para llegar a la ecuación que nos describe la trayectoria de la partícula para todos los instantes de tiempo. Y si lo hacemos obtendremos lo siguiente:

$$ \vec{r}=\textrm{cte}\cdot t+\textrm{cte'}$$

Que es la ecuación de una línea recta. 

Esto no debería ser ninguna sorpresa, puesto que la primera ley de Newton nos dice exactamente lo mismo.
Resumiendo, hemos llegado a la solución del problema y nos ha salido que una partícula libre sigue una trayectoria en línea recta "for ever and ever". No sé a vosotros pero a mí esto me parece de una belleza y una perfección "ideales".

Pasemos al siguiente problema.

EL OSCILADOR ARMÓNICO

El oscilador armónico es, ¿adivináis?, un sistema físico ideal.

-¡Otra vez! Por el camino que vamos parece que los problemas que sabe resolver la Física exactamente no son reales.

En la naturaleza existen sistemas que oscilan pero no son ideales. Aún así, resolver este problema es muy útil. La cantidad de sistemas que se resuelven utilizando el oscilador es enorme. Así que vamos a ello.

Es muy probable que al intentar pensar en un oscilador nos venga a la cabeza un muelle con un cuerpo unido a su extremo como la imagen del principio, y, efectivamente, ese es un ejemplo de oscilador pero, en general, un oscilador armónico es cualquier sistema cuyo movimiento oscile periódicamente con respecto a una posición de equilibrio. Un péndulo o una molécula de aire que transporta una onda sonora también pueden ser considerados osciladores armónicos. 

Y si el sistema oscila armónicamente en el tiempo entonces la ecuación que describe su movimiento va a tener una expresión que podría ser la siguiente:

$$ x = A \sin (\omega\cdot t+\alpha)$$

Esta ecuación correspondería a una partícula moviéndose a lo largo del eje de las $X$, donde $t$ es el tiempo y $\alpha$ es la fase inicial. Es un caso particular de otro más general en el que no vamos a entrar.

La función seno varía entre -1 y +1 y se repite cada vez que su argumento aumenta en 2$\pi$ por lo que el desplazamiento de la partícula varía entre $-A$ y $+A$. 
$A$ se llama amplitud del movimiento y es el desplazamiento máximo de la partícula a partir del origen.
El movimiento es periódico y su periodo es $\frac{2\pi}{\omega}$

La velocidad de la partícula, como hemos visto antes, se determina calculando la derivada respecto al tiempo de la posición:

$$ v=\frac{dx}{dt}=\omega\cdot A \cos(\omega\cdot t+ \alpha)$$

y la aceleración derivando la velocidad:

$$ a=\frac{dv}{dt}=-\omega^2 A \sin(\omega\cdot t+\alpha)$$

si nos fijamos nos daremos cuenta de que ha aparecido la ecuación del principio, luego hemos encontrado que

$$ a=-\omega^2\cdot x$$

Tenemos la aceleración así que sustituyendo en la segunda ley de Newton 

$$ F=-m\omega^2 x$$

O lo que es lo mismo

$$F=-k\cdot x$$

donde

$$k=m\omega^2$$

¿Qué quiere decir esto? Pues que en el movimiento armónico simple la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesta a él. En otras palabras, la fuerza es de atracción siendo el centro de atracción el punto donde colocamos el origen del sistema de referencia, el punto O.

Ejemplos de fuerzas de atracción que pueden dar lugar a un movimiento oscilatorio son la fuerza elástica de un muelle, la gravedad actuando sobre un péndulo...

    
Por último, nos faltaría tratar el problema del átomo de hidrógeno. Desde el punto de vista de la física clásica el problema de dos partículas que experimentan una fuerza que las atrae se conoce como el problema de los dos cuerpos. Tiene solución exacta y será el tema de la siguiente entrada de este blog. Pero en el caso concreto del átomo de hidrógeno tenemos partículas cargadas y para resolverlo exactamente es preciso utilizar física cuántica. El por qué y la solución próximamente en el blog.

De momento, eso es todo amigos.